%----------------- TEXT -----------------
% \subsection*{1.9. French}

\textbf{Lemme 1.9.6.}

Sous les hypothèses de 1.9, soient $e : K^n \longrightarrow V$ une base de $V$, $t$ une uniformisante, $w$ une forme différentielle présentant un pôle simple (= une base de $t^{-1}\Omega$), $\tau = w^{-1} \in \Omega^\vee$, et $\Gamma = (\Gamma_j^i)$ la matrice de connexion dans les bases $e$, $w$. 
%
Soient $s$ et $(r_{i,j})_{1 \leq i \leq n}$ des nombres rationnels, posons
\[
r_{i,j} = s + r_i - r_j
\]
et supposons que
\[
-v(\Gamma_j^i) \leq r_{i,j}.
\]
%
Soit enfin $\gamma \in M_n(k)$ la matrice de coefficients les $t^{r_{i,j}} \Gamma_j^i \mod m$ :
\[
\gamma_j^i =
\begin{cases}
0 & \text{si } -v(\Gamma_j^i) < r_{i,j}, \\
t^{r_{i,j}} \Gamma_j^i \bmod \mathfrak{m} & \text{si } -v(\Gamma_j^i) = r_{i,j}.
\end{cases}
\]

On suppose que $s \leq 0$, ou que $\gamma$ est non nilpotente. 
Alors, une majoration (1.9.2) est vérifiée pour $r = \sup(s, 0)$.

\vspace{1cm}

Soient $N$ un entier tel que les $r_i N$ soient entiers, $\mathcal{O}' = \mathcal{O}[t]/(t^N)$, $K'$ le corps des fractions de $K$, $v : K'^* \longrightarrow \frac{1}{N} \mathbb{Z}$ la valuation de $K'$ qui prolonge $v$.

%\page*{- 48 -}

et $\Lambda$ la matrice diagonale de coefficients les $t^{-r_i}$.

Sur $\mathcal{O}'$, soient $w'$ la base de $\Omega \otimes K'$ image inverse de $w$, $\tau'$ la base correspondante de $\Omega'^\vee \otimes K'$, et $e' = e \Lambda$ une nouvelle base de $V' = V \otimes K'$. 

Dans ces bases, la matrice de connexion est
\[
\Gamma' = \Lambda^{-1} \Gamma \Lambda + \Lambda^{-1} \partial_{\tau'} \Lambda.
\]



%----------------- TRANSLATION -----------------
\newpage 

% \subsection*{1.9. English}

%\fbox{\parbox{0.9\textwidth}{
\textbf{Lemma 1.9.6.}

Under the hypotheses of 1.9, let $e : K^n \to V$ be a basis of $V$, $t$ a uniformizer, $w$ a differential form with a simple pole (i.e., a basis of $t^{-1}\Omega$), $\tau = w^{-1} \in \Omega^\vee$, and let $\Gamma = (\Gamma_j^i)$ be the connection matrix in the bases $e$ and $w$.
%    
Let $s$ and $(r_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ be rational numbers, and set
\[
r_{i,j} = s + r_i - r_j,
\]
assuming that
\[
-v(\Gamma_j^i) \leq r_{i,j}.
\]
%
Finally, let $\gamma \in M_n(k)$ be the matrix whose entries are the reductions modulo $\mathfrak{m}$ of $t^{r_{i,j}} \Gamma_j^i$:
\[
\gamma_j^i =
\begin{cases}
    0 & \text{if } -v(\Gamma_j^i) < r_{i,j}, \\
    t^{r_{i,j}} \Gamma_j^i \bmod \mathfrak{m} & \text{if } -v(\Gamma_j^i) = r_{i,j}.
\end{cases}
\]

Assume that either $s \leq 0$, or that $\gamma$ is not nilpotent.
%
Then estimate (1.9.2) holds with $r = \sup(s, 0)$.
%}}

\vspace{1cm}

Let $N$ be an integer such that all $r_i N$ are integers, set $\mathcal{O}' = \mathcal{O}[t^{1/N}]$, let $K'$ be the fraction field of $\mathcal{O}'$, and extend the valuation $v : K'^* \to \frac{1}{N}\mathbb{Z}$.

%\page{- 48 -}

Let $\Lambda$ be the diagonal matrix with entries $t^{-r_i}$.

Over $\mathcal{O}'$, let $w'$ be the pullback of $w$ to a basis of $\Omega \otimes K'$, let $\tau'$ be the corresponding dual basis of $\Omega'^\vee\otimes K'$, and define a new basis $e' = e \cdot \Lambda$ of $V' = V \otimes K'$.

In these bases, the connection matrix becomes
\[
\Gamma' = \Lambda^{-1} \Gamma \Lambda + \Lambda^{-1} \partial_{\tau'} \Lambda.
\]

